Station 1 · Alltag
Ein Video geht viral
Du schickst ein lustiges Video an 2 Freunde. Jeder, der es bekommt, schickt es in der nächsten Runde an 2 weitere Leute, die es noch nicht kennen. Das geht immer so weiter.
Für so viele Punkte ist auf dem Bildschirm kein Platz mehr.
Wann ist das Ziel erreicht?
Gesucht ist jeweils die kleinste Runde, in der mindestens so viele Personen das Video neu bekommen. Schätze zuerst, trage deinen Tipp ein und teste ihn mit dem Regler.
Was du gerade gemacht hast
2? = Ziel
Diese Gleichung hast du immer wieder gelöst. Gesucht war der Exponent, also die Anzahl der Runden. Für diese Frage gibt es ein eigenes Wort, den Logarithmus.
Station 2 · Die Gegenfrage
Von der Runde zur Anzahl und zurück
25 = ?
Die Runde ist bekannt, die Anzahl wird gesucht. Das kannst du schon.
2? = 32
Die Anzahl ist bekannt, die Runde wird gesucht. Das ist neu.
Exponenten-Jagd
Der Logarithmus ist ein Exponent
Sprich: „Logarithmus von y zur Basis b“. Gemeint ist die Frage, b hoch wie viel ergibt y.
Runde 0 und Runde 1
In Runde 0 bist nur du dabei, also 1 Person. Darum gilt log2(1) = 0.
In Runde 1 sind es 2 Personen. Darum gilt log2(2) = 1. Allgemein ist logb(1) = 0 und logb(b) = 1.
Gibt es immer eine Antwort?
Gibt es eine Runde, in der 0 oder −5 Personen das Video bekommen? Nein. Eine Potenz mit positiver Basis ist nie 0 und nie negativ. Darum gibt es logb(y) nur für y > 0.
Die Basis muss größer als 0 sein und darf nicht 1 sein, denn 1 hoch irgendwas bleibt immer 1.
Station 3 · Alltag
Warum Lautstärke in Dezibel gemessen wird
Ein Flüstern und ein Rockkonzert unterscheiden sich in der Schallintensität um den Faktor 100 Millionen. Mit so großen Zahlen rechnet niemand gern. Darum zählt man nur die Nullen. Das macht der Zehnerlogarithmus lg, kurz für log10.
Pegel und Intensität
Pegel auf der dB-Skala
Intensität auf einer normalen Skala
Wie viele dB gewinnen mehrere Lautsprecher?
Du stellst mehrere gleich laute Lautsprecher auf, die unabhängig voneinander spielen. Schätze zuerst, um wie viele dB zwei Lautsprecher lauter sind als einer.
Du kannst auch in der anderen Richtung rechnen. Trage einen Zuwachs in dB ein und lies ab, wie viele Lautsprecher dafür nötig sind.
Der Nullen-Zähler
Zehnerlogarithmus
lg(10) = 1 · lg(100) = 2 · lg(1 000) = 3 · lg(1 000 000) = 6
Bei glatten Zehnerpotenzen zählt lg die Nullen. Bei allen anderen Zahlen liegt das Ergebnis zwischen zwei ganzen Zahlen.
Station 4 · Rechengesetze
Aus Mal wird Plus
Dein Video hat sich 3-mal verdoppelt und erreicht 8-mal so viele Leute wie am Start. Danach verdoppelt es sich noch 4-mal, das ist ein weiterer Faktor 16. Zusammen ist es 8 · 16 = 128-mal so viel, und zwar nach 3 + 4 = 7 Verdopplungen. Wer Verdopplungen zählt, muss nicht multiplizieren, sondern addiert.
Gilt das immer?
Bitte positive Zahlen für a und c eintragen.
Probiere auch krumme Zahlen wie 7 und 13 aus. Beim letzten Kästchen findest du einen Fehler, der in Klassenarbeiten oft vorkommt.
Warum gilt das?
Schreibe beide Zahlen als Potenz der Basis, mit a = bu und c = bv. Dann ist u = logb(a) und v = logb(c).
Produkt
a · c = bu · bv = bu+v
Der Exponent von a · c ist also u + v.
Quotient
a : c = bu : bv = bu−v
Der Exponent von a : c ist also u − v.
Potenz
an = (bu)n = bu·n
Der Exponent von an ist also n · u.
Die drei Logarithmusgesetze
log(a · c) = log(a) + log(c)
log(a : c) = log(a) − log(c)
log(an) = n · log(a)
Für eine Summe gibt es kein Gesetz. log(a + c) lässt sich nicht vereinfachen.
Station 5 · Taschenrechner
Wenn es nicht glatt aufgeht
Bei 2x = 800 liegt x zwischen 9 und 10, denn 29 = 512 und 210 = 1024. Dein Taschenrechner hat die Tasten lg und ln, aber keine für log2. Mit der Potenzregel aus Station 4 kommst du trotzdem ans Ziel.
Der Weg zum Taschenrechner
Die Basis muss größer als 0 sein und darf nicht 1 sein. Der Wert muss größer als 0 sein.
Wann hat sich dein Geld verdoppelt?
Du legst 1 000 € an. Die Bank zahlt jedes Jahr Zinsen, und die Zinsen werden mitverzinst. Nach wie vielen Jahren sind daraus 2 000 € geworden?
Vergleiche die Verdopplungszeit mit 72 : p. Was fällt dir auf, wenn du den Zinssatz veränderst?
Basiswechsel
bx = y ⇒ x = lg(y) : lg(b)
Auf beiden Seiten lg anwenden, die Potenzregel nutzen, durch lg(b) teilen. Mit ln statt lg funktioniert derselbe Weg.
Station 6 · Üben
Aufgaben ohne Ende
Das Wichtigste auf einen Blick
- logb(y) = x ⇔ bx = y, der Logarithmus ist ein Exponent.
- logb(1) = 0 und logb(b) = 1. Es gibt logb(y) nur für y > 0.
- log(a · c) = log(a) + log(c), log(a : c) = log(a) − log(c), log(an) = n · log(a).
- Taschenrechner: logb(y) = lg(y) : lg(b).
- lg zählt bei Zehnerpotenzen die Nullen, 10 dB mehr bedeuten die zehnfache Intensität.